已知函數(shù)f(x)=
ex
a
+
a
ex
(a＞0，a∈R)是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即
e-x
a
+
a
e-x
=
ex
a
+
a
ex
，由此求得a的值．
（2）由（1）得f(x)=ex+
1
ex
，設0≤x1＜x2，計算（x1）-f（x2）=ex1+
1
ex2
-（ex2+
1
ex2
）=
(ex1-ex2)(ex1+x2-1)
ex1+x2
＜0，可得函數(shù)f（x）
在[0，+∞）上是增函數(shù)．
解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），即
e-x
a
+
a
e-x
=
ex
a
+
a
ex
，…（2分）
整理得(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)=0，得a-
1
a
=0，又a＞0，∴a=1．…（6分）
（2）由（1）得f(x)=ex+
1
ex
，設0≤x1＜x2，
可得f（x1）-f（x2）=ex1+
1
ex2
-（ex2+
1
ex2
）=
(ex1-ex2)(ex1+x2-1)
ex1+x2
．
由題設可得，ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
e-x-2，(x≤0)
2ax-1，(x＞0)
（a是常數(shù)且a＞0）．對于下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③若f（x）＞0在[
1
2
，+∞)上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；
④對任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=e-z+log3
1
x
，若實數(shù)x0是方程f（x）=0的解，且x1＞x0，則f（x1）的值（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）的極大值等于3e-2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河南模擬）已知函數(shù)f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）的極大值等于3e-2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•孝感模擬）已知函數(shù)
f(x)=
e-x-1，(x≤0)
|lnx|，(x＞0)
，集合M={x|f[f（x）]=1}，則M中元素的個數(shù)為（　�。�

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