Question

【題目】已知，.

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；（2）

【解析】

(1) 設(shè)F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通過兩次求導(dǎo)，判斷F（x）的單調(diào)性，即可得證；(2) 由題意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，設(shè)=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，兩次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，對a討論，分①當(dāng)a≥時，②當(dāng)a＜時，通過構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)，得到單調(diào)區(qū)間，可得最值，即可得到所求a的范圍．

(1)設(shè)，

F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x-]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），

所以，F′（x）在[0，+∞）上遞增，所以F′（x）≥F′（0）=0，

所以，F（x）在[0，+∞）上遞增，所以F（x）≥F（0）=0，

即有當(dāng)x≥0時，f（x）≥（x+1）2+x；

（2）即，

則，

在上遞增，

①當(dāng)時，,在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

故，

②當(dāng)時，

設(shè),

,

在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

，

，

則當(dāng)時，恒成立，不合題意

綜上，則