Question

已知向量

OA

=（1，3），

OB0

=（2，1），|

OBn

|=

1

2

|

OBn-1

|（n∈N⁺）．
（1）判斷△AB₀B₁的形狀，并說明理由；
（2）求數(shù)列{|

Bn-1Bn

|}（n∈N⁺）的通項(xiàng)公式；
（3）若△AB_n-1B_n的面積為S △ABn-1Bn=a_n（n∈N⁺），求

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算,數(shù)列的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）利用三角形的面積計(jì)算公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的定義即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得

B0A

=

OA

-

OB0

=（-1，2），
∵

OB0

•

B0A

=-1×2+2×1=0，
∴

OB0

⊥

B0A

，
∴△AB₀B₁是直角三角形．
（2））∵|

OBn

|=

1

2

|

OBn-1

|（n∈N⁺），
∴數(shù)列{|

OBn

|}成等比數(shù)列，公比為

1

2

，
∴|

OBn

|=|

OB0

|•(

1

2

)n=

5

•(

1

2

)n．|

Bn-1Bn

|=|

OBn

-

OBn-1

|=3|

OBn

|=3

5

•(

1

2

)n．
∴數(shù)列{|

Bn-1Bn

|}（n∈N⁺）的通項(xiàng)公式為|

Bn-1Bn

|=3

5

•(

1

2

)n；
（3）△AB_n-1B_n的面積為S △ABn-1Bn=a_n=

1

2

|

Bn-1Bn

|×|

B0A

|=

1

2

×3

5

×(

1

2

)n×

5

=15×(

1

2

)n+1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=

1

2

，首項(xiàng)a1=

15

4

．

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

a1

1-q

=

15 4

1- 1 2

=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的定義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．