Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=4a_n-3．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+b_n，且b₁=2，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=4a₁-3，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-3-4a_n-1+3（n＞1）=4（a_n-a_n-1），由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式an=(

4

3

)n-1．
（2）由已知得a_n=b_n+1-b_n，從而

n-1

k=1

ak=

n-1

k=1

(bk+1-bk)=b_n-b₁（n≥2），由此能求出{b_n} 的通項(xiàng)公式b_n=3（

4

3

）^n-1-1．

解答： 解：（1）a₁=S₁=4a₁-3
∴a₁=1
a_n=S_n-S_n-1=4a_n-3-4a_n-1+3（n＞1）
=4（a_n-a_n-1）
a_n=

4

3

an-1，∴{a_n}為q=

4

3

的等比數(shù)列，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式an=(

4

3

)n-1．
（2）∵b_n+1=a_n+b_n，
∴a_n=b_n+1-b_n，
∴

n-1

k=1

ak=

n-1

k=1

(bk+1-bk)=b_n-b₁（n≥2），
∴bn=b1+

n-1

k=1

ak=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3(

4

3

)n-1-1，n≥2，
∵b1=2=3(

4

3

)1-1-1，
∴{b_n} 的通項(xiàng)公式b_n=3（

4

3

）^n-1-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．