Question

19．已知λ=${∫}_{0}^{3}$x²dx，數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 利用定積分求出λ=9，由q＞0，且$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}+9{a}_{2}}{{a}_{3}}$=q+$\frac{9}{q}$，利用均值定理能求出$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$的最小值．

解答 解：∵λ=${∫}_{0}^{3}$x²dx=（$\frac{1}{3}{x}^{3}$）${|}_{0}^{3}$=9，
數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q＞0，且$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}+9{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}+9{{a}_{1}q}^{\;}}{{a}_{1}{q}^{2}}$=$\frac{{q}^{2}+9}{q}$=q+$\frac{9}{q}$≥2$\sqrt{q•\frac{9}{q}}$=6．
當且僅當q=$\frac{9}{q}$，即q=3時，$\frac{{a}_{4}+λ{a}_{2}}{{a}_{3}}$取最小值為6．
故選：D．

點評 本題考查等比數(shù)列中代數(shù)式和的最小值的求法，涉及到定積分、等比數(shù)列、均值定值，是中檔題．