Question

6．已知A，B分別是橢圓 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的長軸與短軸的一個端點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點，D橢圓上的一點，△DF₁，F(xiàn)₂的周長為$6，|{AB}|=\sqrt{7}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P是圓x²+y²=7上任一點，過點作P橢圓C的切線，切點分別為M，N，求證：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）由2a+2c=6，$|{AB}|=\sqrt{7}$，b²+c²=a²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當切線PM斜率不存在或者為零時，根據(jù)對稱性即可求得PM⊥PN；當斜率不為零時，分別求得直線PM，PN的方程，由△=0即可求得k₁，k₂是方程$（{x_0^2-4}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-3=0$的兩個根，則${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-3}{x_0^2-4}=\frac{7-x_0^2-3}{x_0^2-4}=-1$，則PM⊥PN．

解答 解：（1）由△DF₁F₂的周長為6，得2a+2c=6，由$|{AB}|=\sqrt{7}$，得a²+b²=7，
又b²+c²=a²，∴$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$．
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：①當切線PM的斜率不存在或為零時，此時取$P（{2，\sqrt{3}}）$，
顯然直線$PN：y=\sqrt{3}$與直線PM：x=2恰是橢圓的兩條切線．
由圓及橢圓的對稱性，可知PM⊥PN．
②點切線PM，PN斜率存在且不為零時，設切線PM的方程為y=k₁x+m，
PN的方程為y=k₂x+t，P（x₀，y₀）（x₀≠±2），
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消y，得$（{4k_1^2+3}）{x^2}+8{k_1}mx+4（{{m^2}-3}）=0$，
∵PM與橢圓C相切，∴$△=64k_1^2{m^2}-16（{4k_1^2+3}）（{{m^2}-3}）=0$，
∴${m^2}=4k_1^2+3$．∵y₀=k₁x₀+m，∴m=y₀-k₁x₀，
∴${（{{y_0}-{k_1}{x_0}}）^2}=4k_1^2+3$．即$（{x_0^2-4}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-3=0$；
同理：切線PN：y=k₂x+t中，$（{x_0^2-4}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-3=0$，
∴k₁，k₂是方程$（{x_0^2-4}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-3=0$的兩個根，
又∵P在圓上，∴$x_0^2+y_0^2=7$，∴$y_0^2=7-x_0^2$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-3}{x_0^2-4}=\frac{7-x_0^2-3}{x_0^2-4}=-1$，
∴PM⊥PN．
綜上所述：PM⊥PN．

點評 本題考查橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于中檔題．