Question

（12分）（已知拋物線，過(guò)定點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).

   （Ⅰ）分別過(guò)A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求證：這兩條切線的交點(diǎn)在定直線上.

   （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在拋物線上存在不同的兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，弦長(zhǎng)|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)由，得，設(shè)

過(guò)點(diǎn)A的切線方程為：，即

同理求得過(guò)點(diǎn)B的切線方程為：

∵直線PA、PB過(guò)，∴,

∴點(diǎn)在直線上，∵直線AB過(guò)定點(diǎn)，

∴，即∴兩條切線PA、PB的交點(diǎn)在定直線上.

   （Ⅱ） 設(shè)，設(shè)直線的方程為：，

則直線的方程為：，

，

，              ①

設(shè)弦PQ的中點(diǎn)，則

∵弦PQ的中點(diǎn)在直線上，∴，

即      ②

②代入①中，得            ③

由已知，當(dāng)時(shí)， 弦長(zhǎng)|PQ|中不存在最大值.

當(dāng)時(shí)，這時(shí)，此時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|中存在最大值，

即當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|中的最大值為【解析】略