Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是A₁A，B₁B的中點．
（1）求直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角的大��；
（2）求點N到平面D₁MB的距離；
（3）求直線CM與D₁N所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁N，可得A₁N是D₁N在平面A₁ABB₁內(nèi)的射影，∠D₁NA₁為直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角．再在Rt△A₁ND₁中，求出A₁N 長，利用正切在直角三角形中的定義，可以求得直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角的大��；
（2）利用三棱錐的體積公式，得VN-D1MB=VD1-NMB，分別求出三角形MBD₁的面積和MNB的面積，以及面MNB上的高，利用等體積轉(zhuǎn)換，可得點N到平面D₁MB的距離為

6

3

；
（3）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標，可以分別得出D₁、M、C、N的坐標，從而得到向量

CM

、

D1N

的坐標，利用向量的夾角公式計算出向量

CM

、

D1N

的夾角的余弦值，最后可得直線CM與D₁N所成角的正弦值．

解答：解：（1）連接A₁N，
∵D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴A₁N是D₁N在平面A₁ABB₁內(nèi)的射影，∠D₁NA₁為直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角．
∵A₁D₁=A₁B₁=2，B₁N=1
∴在Rt△A₁NB₁中利用勾股定理，得A₁N=

5

，
∴Rt△A₁ND₁中，tan∠D1NA1=

A1D1

A1N

=

2

5

=

2 5

5

，
即∠D₁NA₁=arctan

2 5

5

．
（2）連接MD₁，MB，BD₁，NM．設(shè)點N到平面D₁MB的距離為h．
∵分別在Rt△AMB和Rt△A₁MD₁中，運用勾股定理，得MB=MD₁=

5

，
正方體的對角線BD₁=

22+22+22

=2

3

∴△BMD₁中，cos∠BMD₁=

5+5-12

2• 5 • 5

=-

1

5

，得sin∠BMD₁=

2 6

5

可得S△BMD1=

1

2

BM•MD1•sin∠BMD1=

6

又∵S_△MNB=

1

2

•MN•NB=1且VN-D1MB=VD1-NMB
∴

1

3

S△BMD1h=

1

3

S_△MNBA₁D₁⇒h=

S△MNB•A1D1

S△BMD1

=

6

3

．
（3）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標，
則D₁（0，0，2），M（2，0，1），C（0，2，0），N（2，2，1）．
可得

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）．
∴cos＜

CM，

D1N

＞=

CM • D1N

|CM| |D1N|

=

2×2+(-2)×2+1×(-1)

22+(-2)2+12 • 22+22+(-1)2

=-

1

9

設(shè)直線CM與D₁N所成角大小為θ．
∴cosθ=|cos＜

CM，

D1N

＞|=

1

9

，
∴sinθ=

4 5

9

，直線CM與D₁N所成角的正弦值為

4 5

9

．

點評：本題以求直線與平面所成角、異面直線所成角和求點到平面的距離為例，著重考查了空間直線與平面所成角定義和空間點到平面距離等知識點，屬于中檔題．