Question

已知函數(shù)f（x）=log₂，g（x）=log₂（x-1）
（1）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）記函數(shù)h（x）=g（2^x+2）+kx，問：是否存在實數(shù)k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由；
（3）記函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+log₂（p-x），其中p＞1試求F（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．證明如下：
任取1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂
∵-1=
∵1＜x₁＜x₂，∴＞0
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定義域為R
假設(shè)存在這樣的k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，則h（x）-h（-x）=0恒成立
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化簡得（1+2k）x=0
∴k=-使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)．
（3）首先函數(shù)F（x）的定義域是（1，p）
F（x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]=log₂[-（x-^）2+]，顯然＜
①當(dāng)≤1，即1＜p≤3時，t=-（x-^）2+在（1，p）上單調(diào)減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函數(shù)f（x）的值域為（-∞，log₂（p-1））；
②當(dāng)1＜＜，即p＞3時，t=-（x-^）2+在（1，）上單調(diào)遞增，在（，p）上單調(diào)遞減，即0＜t≤，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．
綜上：當(dāng)1＜p≤3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，log₂（p-1））；當(dāng)p＞3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．
分析：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．利用單調(diào)性的定義，關(guān)鍵是作差變形；
（2）假設(shè)存在這樣的k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，則h（x）-h（-x）=0恒成立，化簡可得結(jié)論；
（3）先確定函數(shù)的定義域，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡函數(shù)，分類討論，確定內(nèi)函數(shù)的值域，即可求得函數(shù)的值域．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)．