Question

點(diǎn)A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短軸位于x軸下方的頂點(diǎn)，過(guò)A作斜率為1的直線交橢圓于P點(diǎn)，B點(diǎn)在y軸上且BP∥x軸，且

AB

•

AP

=9．
（1）若B（0，1），求橢圓的方程；
（2）若B（0，t），求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）利用兩條直線的交點(diǎn)解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積公式，進(jìn)而求出b的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程即可．
（2）類比（1）利用向量關(guān)系得到t與b的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程并利用a²＞b²建立不等式，解出即可．

解答： 解：（1）直線AP的方程為y=x-b，聯(lián)立

y=1 y=x-b

，解得

x=b+1 y=1

，∴P（b+1，1）．
∴

AB

•

AP

=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）²=9（b＞0），解得b=2．
∴P（3，1），代入橢圓的方程為

32

a2

+

1

b2

=1，解得a²=12．
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）由

AB

•

AP

=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）²=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．
把P（3，t）代入橢圓的方程可得

9

a2

+

t2

b2

=1，化為a2=

9b2

b2-t2

．
∵a²＞b²，∴

9b2

b2-t2

＞b2，∴

9

b2-t2

＞1，②
由①可得b=3-t代入②可得

9

(3-t)2-t2

＞1，化為

9

9-6t

＞1，解得0＜t＜

3

2

．
∴t的取值范圍是(0，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與直線相交、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．