Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若，試證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴，…（2分）
∴，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴，∴，…（8分）
∴=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）=．…（10分）
令，
則，
兩式相減得：，．…（12分）
∴．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，證明b_n+1=2b_n，即可證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（II）利用，可數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，利用錯位相減法可求數(shù)列的和．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，正確運用求和方法是關(guān)鍵．