Question

已知橢圓C：的離心率為，且過點P（1，），F(xiàn)為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點A（4，0）的直線l與橢圓相交于M，N兩點（點M在A，N兩點之間），若△AMF與△MFN的面積相等，試求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓C：的離心率為，
∴，所以a=2c，b=c．…（1分）
設橢圓方程為，又點P（1，）在橢圓上，所以，解得c=1，…（3分）
所以橢圓方程為．…（4分）
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），…（5分）
由，消去y整理，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，…（6分）
由題意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得．…（7分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則①，②．
因為△AMF與△MFN的面積相等，所以|AM|=|MN|，所以2x₁=x₂+4 ③…（10分）
由①③消去x₂得 ④
將x₂=2x₁-4代入②得x₁（2x₁-4）= ⑤
將④代入⑤，
整理化簡得36k²=5，解得，經(jīng)檢驗成立．…（12分）
所以直線l的方程為y=（x-4）．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：的離心率為，橢圓方程可化為，又點P（1，）在橢圓上，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），與橢圓方程聯(lián)立，借助于韋達定理，及△AMF與△MFN的面積相等，即可求得直線l的方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解．