設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1+cosx(a>0).
(1)當a=1時,證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求正數(shù)a的范圍.
(1)略 (2)a≥1
解析 (1)證明:當a=1時,f(x)=x2-1+cosx.
令g(x)=f′(x)=x-sinx,
g′(x)=1-cosx≥0,∀x∈(0,+∞)恒成立.
∴y=g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
∴g(x)>g(0)=0.
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)為增函數(shù).
(2)f(x)=x2-1+cosx,
令h(x)=f′(x)=ax-sinx.
∵y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ax-sinx>0恒成立.
當a≥1時,∀x∈(0,+∞),
恒有ax≥x>sinx,滿足條件.
當0<a<1時,h′(x)=a-cosx.
令h′(x)=0,得cosx=a,在(0,)內(nèi)存在x0,使得cosx0=a.
當x∈(0,x0)時,h′(x)<0.
∴h(x)<h(0),即f′(x)<f′(0)=0.
與 ∀x∈(0,+∞),f′(x)>0恒成立矛盾.∴a≥1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)=x2+mx(m∈R),則下列命題中的真命題是 ( ).
A.任意m∈R,使y=f(x)都是奇函數(shù)
B.存在m∈R,使y=f(x)是奇函數(shù)
C.任意m∈R,使y=f(x)都是偶函數(shù)
D.存在m∈R,使y=f(x)是偶函數(shù)
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年四川省高三10月月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
對實數(shù)a和b,定義運算“⊕”:a⊕b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)⊕(x-x2),x∈R,若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是
A.(-∞,-2]∪ B.(-∞,-2]∪
C. ∪ D. ∪
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年黑龍江省高三上學期期末考試數(shù)學理卷 題型:解答題
、(12分)設(shè)函數(shù)f(x) = x2+bln(x+1),
(1)若對定義域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求實數(shù)b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍;
(3)若b=-1,證明對任意的正整數(shù)n,不等式成立;
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型:填空題
設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3,對任意x∈[1,+∞),f()+m2f(x)≥f(x-1)+3f(m)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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