Question

已知在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：
（1）n的值；
（2）展開式中x⁵的系數(shù)；
（3）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，而第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 T₉=2^8-n•

C

8 n

•x^2n-20，故有 2n-20=0，由此解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=（-1）^r•2^r-10•

C

r 10

•x20-

5r

2

．令x的冪指數(shù)等于5，求得r的值，可得展開式中x⁵的系數(shù)．
（3）由20-

5r

2

為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，從而得到含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，而第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 T₉=

C

8 n

•2^8-n•x^2n-16•x^-4=2^8-n•

C

8 n

•x^2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 10

•2^r-10•x^20-2r•（-1）^r•x-

r

2

=（-1）^r•2^r-10•

C

r 10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=5，求得r=6，故展開式中x⁵的系數(shù)為

1

24

•

C

6 10

=

105

2

．
（3）由20-

5r

2

為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．