△ABC的面積為S,三邊長(zhǎng)為a、b、c.
(1)求證:(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)
(2)若S=(a+b)2-c2,a+b=4,求S的最大值.
(3)試比較a2+b2+c24
3
S
的大。
分析:(1)直接兩邊作差,把平方展開,整理后結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論;
(2)直接根據(jù)S=
1
2
absinC
,c2=a2+b2-2abcosC以及S=(a+b)2-c2,a+b=4,代入整理得到sinC=4cosC+4求出sinC;再結(jié)合基本不等式求出ab的取值范圍即可得到結(jié)論;
(3)通過作差結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理整理得到=2a2+2b2-4absin(C+
π
6
)
≥2(a-b)2≥0即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)證明:∵(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=(a2-ab-ac)+(b2-ab-bc)+(c2-ac-bc)=a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-a-b)
∵a、b、c為△ABC的三邊
∴b+c>a  a+c>b   a+b>c
故(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)(4分)
(2)∵S=
1
2
absinC
,c2=a2+b2-2abcosC
1
2
absinC=(a+b)2-a2-b2+2abcosC

把a(bǔ)+b=4代入整理得:
∴sinC=4cosC+4⇒17cos2C+32cosC+15=0⇒cosC=-1或cosC=-
15
17

∵C∈(0,π)∴sinC=
8
17
(8分)
S=
1
2
absinC=
4
17
ab

4=a+b≥2
ab
∴ab∈(0,4]
S∈(0,
16
17
]
(10分)
(3)a2+b2+c2-4
3
S

=a2+b2+a2+b2-2abcosC-2
3
absinC

=2a2+2b2-2ab(
3
sinC+cosC)

=2a2+2b2-4absin(C+
π
6
)
≥2(a-b)2≥0
a2+b2+c2≥4
3
S
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查不等式的證明以及三角形中的幾何計(jì)算.考查計(jì)算能力與分析問題的能力.通常不等式的證明采用作差法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△A'B'C'斜二測(cè)畫法畫出的正△ABC的直觀圖,記△A'B'C'的面積為S',△ABC的面積為S,則
S′S
=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若△ABC的面積為S=
14
(a2+b2-c2)
,則∠C的度數(shù)為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,過點(diǎn)M(m,1)作直線AB交拋物線x2=y于A,B兩點(diǎn),且|AM|=|MB|,過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.連接AC,BC,記三角形ABC的面積為S,記直線AB與拋物線所圍成的陰影區(qū)域的面積為S
(1)求m的取值范圍;
(2)當(dāng)S最大時(shí),求m的值;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得
SS
?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且tanA+tanB=
3
tanAtanB-
3
,c=
7
2
,又△ABC的面積為S△ABC=
3
3
2
.求:
(1)角C的大小;
(2)a+b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知角A、B、C.所對(duì)的邊分別是a、b、c,邊c=
7
2
,且tanA+tanB=
3
-
3
tanA.tanB,又△ABC的面積為S△ABC=
3
3
2
,求a+b的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案