Question

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．

分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件“右焦點為，離心率為”得到含有的兩個方程，進而求解橢圓方程；（2）通過直線和直線與橢圓連接方程組，得到四點坐標，統(tǒng)一變量，減少字母，然后利用斜率公式證明直線，的斜率之和為定值. 在第（2）問的運算上要注意先化簡再代入．本題的幾何背景是：在如圖所示的圓中，因為，且，所以．

     

試題解析：（1）解：由題意，得，，故，

從而，

所以橢圓的方程為．                     ①                                  5分

（2）證明：設(shè)直線的方程為，    ②

直線的方程為，  ③                                   7分

由①②得，點，的橫坐標為，

由①③得，點，的橫坐標為，                     9分

記，，，，

則直線，的斜率之和為

                                13分

．                                                           16分

考點：1.橢圓的標準方程;2.直線的斜率;3.直線與橢圓的位置關(guān)系．