Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x．對(duì)于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：解法一：由|f（x）|≤1得-1≤f（x）≤1，從中分離出系數(shù)a，將其轉(zhuǎn)化為恒成立問題可解．
解法二：本題還可以從a的正、負(fù)入手，考慮a＞0與a＜0兩種情況，綜合運(yùn)用分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．

解答：解法一：|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等價(jià)于-

1

x2

-

1

x

≤a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
設(shè)t=

1

x

，則t∈[1，+∞），則有-t²-t≤a≤t²-t，所以只須，

a≥(-t2-t)max=-2 a≤(t2-t)min=0

?-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x的圖象開口方向向上，對(duì)稱軸為x=-

1

2a

＜0，
且經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x的圖象開口方向向下，對(duì)稱軸為x=-

1

2a

＞0，
且經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）當(dāng)-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1時(shí)，需滿足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

1

4

；
（ii）當(dāng)

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

時(shí)，需滿足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）當(dāng)-

1

2a

≥1，即-

1

2

≤a＜0，需滿足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，這顯然成立；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的靈魂在于“轉(zhuǎn)化”，先將轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再以t=

1

x

將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，最終得以解決．很多問題在實(shí)施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．
解法二分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破．本解法比前一解法雖然復(fù)雜不少，但是其中所蘊(yùn)涵的分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想?yún)s是處理很多疑難問題的“利劍”．