Question

6．已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=k（x+1），
（1）若直線l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線l截拋物線C的弦長．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，直接由判別式大于0得答案；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式得答案．

解答 解：（1）聯(lián)立拋物線C：y²=4x，直線l：y=k（x+1），
得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由△=[（2k²-4）]²-4k⁴=16-16k²＞0且k≠0，解得：-1＜k＜1且k≠0；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，聯(lián)立拋物線C：y²=4x，直線l：y=k（x+1），得：x²-14x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=14，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{196-4}$=8$\sqrt{15}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．