Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將f（x）的圖象先向由平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\sqrt{3}$個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞減區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)求得φ和b的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的減區(qū)間，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，求得x，即可解得函數(shù)的對稱中心．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]-b+$\sqrt{3}$為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，求得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數(shù)的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$），k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得：$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]（k∈Z）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)的奇偶性，考查了數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．