已知數(shù)列{an}滿足:a1=2且數(shù)學公式(n∈N*
(Ⅰ)求證:數(shù)列數(shù)學公式為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:數(shù)學公式(n∈N*).

解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}滿足:a1=2且(n∈N*),
∴an+1(an+n)=2(n+1)an,
即anan+1+nan+1=2(n+1)an
,
,
所以數(shù)列為等比數(shù)列,…(3分)
,
…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知…(8分)

=
=,
所以(n∈N*). …(12分)
分析:(Ⅰ)由an+1(an+n)=2(n+1)an,知anan+1+nan+1=2(n+1)an,故,由,能夠證明數(shù)列為等比數(shù)列,從而能夠求出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故=,由此能夠證明(n∈N*).
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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3+4an
12-4an
, n∈N*

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1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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2n-1
2n-1

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