Question

16．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在y軸與直線l：x=8之間的區(qū)域（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，且到點(diǎn)F（2，0）和直線l的距離之和為10，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)S（2，4）作兩條直線SA、SB分別交曲線C于A、B兩點(diǎn)，斜率分別為k₁、k₂．
（1）求曲線C的方程；
（2）若k₁•k₂=1，求證：直線AB恒過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），列出方程化簡求解即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線的斜率，利用向量乘積為1，轉(zhuǎn)化求解直線方程利用直線系求解即可．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則有$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}+|8-x|=10$，（0≤x≤8），
移項(xiàng)平方并化簡得，y²=8x，（0≤x≤8）．（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-2}$=$\frac{8}{{y}_{1}+4}$，同理可得k₂=$\frac{8}{{y}_{2}+4}$，（6分）
所以k₁k₂=$\frac{8}{{y}_{1}+4}$•$\frac{8}{{y}_{2}+4}$=1，即y₁y₂=48-4 （y₁+y₂）（※）
因?yàn)橹本�AB的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
所以y=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
代入（※）得，y=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x+6）-4，
故直線AB必過點(diǎn)（-6，-4）．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線系方程的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．