在△ABC中，
AB
•
AC
=|
BC
|=2．
（1）求
AB
2+
AC
2的值；
（2）求△ABC面積的最大值．
分析：（1）求的是兩個向量的平方和，由已知條件結合三角形法則得到|
BC
|=|
AC
-
AB
|=2，∴
AC
2-2
AC
•
AB
+
AB
2=4，與
AB
•
AC
=2聯(lián)立即得兩向量的平方和．
（2）由（1）的結論知道了相鄰兩邊的平方和，結合三角形的面積公式知需求出兩邊的夾角，綜合已知條件，用余弦定理求角的三角函數(shù)值，本題在求最值時因出現(xiàn)了兩邊的平方和為定值，屬于和定積最大的問題．
解答：解：（1）∵|
BC
|=|
AC
-
AB
|=2，∴
AC
2-2
AC
•
AB
+
AB
2=4，（3分）
又∵
AB
•
AC
=2，∴
AB
2+
AC
2=8；（5分）
（2）設|
AB
|=c，|
AC
|=b，|
BC
|=a，由（1）知b2+c2=8，a=2，
又∵cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
8-2
2bc
=
2
bc
，（9分）
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc
1-cos2A
=
1
2
b2c2-b2c2•
4
b2c2
≤
1
2
(
b2+c2
2
)2-4
=
3
，（13分）
當且僅當a=b=c時取“=”，所以△ABC的面積最大值為
3
．（14分）
點評：考查向量的加減運算，余弦定理以及三角形的面積公式，涉及到的知識點較多，變形時技巧性較強．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圓的面積．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=a，AC=b，當
a
•
b
＜0時，△ABC為
鈍角三角形
鈍角三角形
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，則△ABC的面積為
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圓的面積為
7π
3
7π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M為AB的中點，
BN
=
1
3
BC
，則
 
．

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