Question

若球O的球面上共有三點(diǎn)A、B、C，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于大圓周長的

1

6

，經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)的小圓周長為2

3

π，則球O的體積為

 

．

Answer 1

分析：由條件：“經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)的小圓周長為2

3

π，”得出正三角形ABC的外接圓半徑r=

3

，再結(jié)合球的性質(zhì)知：三角形ABC的外接圓半徑r、球的半徑、球心與三角形ABC的外接圓的圓心的連線構(gòu)成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出球半徑R．

解答：解：因?yàn)檎�三角形ABC的外徑r=

3

，故高AD=

3

2

3

，D是BC的中點(diǎn)．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+

27

4

，所以R=3．
則球O的體積為：36π
故答案為：36π．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及對球的性質(zhì)認(rèn)識及利用，是基礎(chǔ)題．此類題的解法是：充分利用圖形的特點(diǎn)構(gòu)造三角形，根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合解三角形解決問題．