已知圓，直線。

（Ⅰ）求證：對，直線與圓C總有兩個不同交點；

（Ⅱ）設與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；

（Ⅲ）若定點P（1，1）分弦AB為，求此時直線的方程

 

【答案】

（Ⅰ）解法一：圓的圓心為，半徑為。

∴圓心C到直線的距離

∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；

方法二：∵直線過定點，而點在圓內∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；

（Ⅱ）當M與P不重合時，連結CM、CP，則，

∴

設，則，

化簡得：

當M與P重合時，也滿足上式。

故弦AB中點的軌跡方程是。

（Ⅲ）設，由得，

∴，化簡的………………①

又由消去得……………（*）

∴   ………………………………②

由①②解得，帶入（*）式解得，

∴直線的方程為或

【解析】略

 

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