Question

記數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為A，其中a_i∈{0，1}，i=1，2，3，…，n．定義一種變換f：f將A中的1變?yōu)?，0；0變?yōu)?，1．設(shè)A₁=f（A），A_k+1=f（A_k），k∈N^*；   例如A：0，1，則A₁=f（A）：0，1，1，0．
（1）若A為1，1，0，則A₄中的項(xiàng)數(shù)為

 

；
（2）設(shè)A為1，0，1，記A_k中相鄰兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為b_k，則b_k關(guān)于k的表達(dá)式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：映射,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中A為1，1，0，f將A中的1變?yōu)?，0；0變?yōu)?，1．設(shè)A₁=f（A），A_k+1=f（A_k），代入遞推可得答案；
（2）設(shè)A_k中有l(wèi)_k個(gè)10數(shù)對(duì)，A_k+1中的00數(shù)對(duì)只能由A_k中的10數(shù)對(duì)得到，從而有b_k+1=l_k，A_k+1中的10數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，由變換f的定義及A：1，0，1可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有3×2^k個(gè)，從而可得A_k+1中的10數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)l_k+1=b_k+3×2^k-1，則b_k+2=b_k+3×2^k-1，分k為奇數(shù)、偶數(shù)討論，用累加法可得答案；

解答： 解：（1）∵A為1，1，0，
故A₁有6項(xiàng)，A₂中的項(xiàng)數(shù)為12，A₃有24項(xiàng)，A₄中的項(xiàng)數(shù)為48，
（2）設(shè)A_k中有l(wèi)_k個(gè)10數(shù)對(duì)，A_k+1中的00數(shù)對(duì)只能由A_k中的10數(shù)對(duì)得到，
∴b_k+1=l_k，A_k+1中的10數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由變換f的定義及A：1，0，1可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有3×2^k個(gè)，
∴l(xiāng)_k+1=b_k+3×2^k-1，
∴b_k+2=b_k+3×2^k-1，
由A：1，0，1可得A₁：1，0，0，1，1，0；A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴b₁=1，b₂=2，
當(dāng)k≥3時(shí)，
若k為偶數(shù)，b_k=b_k-2+3×2^k-3，b_k-2=b_k-4+3×2^k-5，…b₄=b₂+3×2．
上述各式相加可得b_k=2+3×2+3×2³+…+3×2^k-3=2+3×

2(1-4 k-2 2 )

1-4

=2^k-1，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=2時(shí)，也滿(mǎn)足b_k=2^k-1．
若k為奇數(shù)，b_k=b_k-2+3×2^k-3，b_k-2=b_k-4+3×2^k-5，…，b₃=b₁+3×2⁰，
上述各式相加可得b_k=1+3×1+3×2²+3×2⁴+…+3×2^k-3=1+3×

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=2^k-1，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=1時(shí)，也滿(mǎn)足b_k=2^k-1．
綜上，b_k=2^k-1．
故答案為：（1）48；（2）b_k=2^k-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，難度較大，對(duì)能力要求較高．