精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知圓O：x²+y²=1，點O為坐標(biāo)原點，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓 $數(shù)學(xué)公式$ 交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達(dá)式，并注明k的取值范圍；
（Ⅱ）若 $數(shù)學(xué)公式$ ，求直線l的方程；
（Ⅲ）若 $數(shù)學(xué)公式$ =m（ $數(shù)學(xué)公式$ ），求△OAB面積S的取值范圍．

解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，則 $\text{[math]}$ ，
即b²=k²+1，k≠0，所以 $\text{[math]}$ （b＞0）
∴ $\text{[math]}$ （3分）

（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由 $\text{[math]}$ ，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴ $\text{[math]}$ （5分）
從而 $\text{[math]}$ ，∴k=±1
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （7分）
∴直線l的方程為： $\text{[math]}$ ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知： $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ （10分）
由弦長公式，得 $\text{[math]}$
又點O到直線AB的距離 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （12分） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知 $\text{[math]}$ （b＞0），由此可知 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由 $\text{[math]}$ ，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可以求出直線l的方程．
（Ⅲ）由題設(shè)知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再由弦長公式，求出|AB|的長，用點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，由此可以導(dǎo)出△OAB面積S的取值范圍．
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時要注意弦長公式、點到直線的距離公式的靈活運用．

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已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為

的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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