Question

已知直線，圓．

（1）求直線被圓所截得的弦長；

（2）如果過點的直線與直線垂直，與圓心在直線上的圓相切，圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，求圓的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）由題意可以通過求弦心距進而求得弦長，而弦心距即為圓心到直線的距離：，再由垂徑定理，弦長為；（2）根據(jù)題意可求得：，由圓心在直線上，可設(shè)，從而根據(jù)與圓相切可知圓的半徑，再由圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，可知兩段弧的度數(shù)分為為，，從而直線截圓的弦的弦心距為半徑的一半，即有關(guān)于的方程：

，解得或，從而可得圓的方程為：

或.

試題解析：（1）直線被圓所截得弦弦心距為，∴弦長為； 3分

∵過點且與垂直，∴：， 3分

∵圓心在直線上，∴設(shè)，∵與圓相切，∴，

設(shè)與圓交于，兩點，∵圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，∴，

即可得的弦心距，解得或，

∴圓的方程為：或． 6分

考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.