精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知定點A（0，1）、B（0，-1）、C（1，0），動點P滿足： $數(shù)學公式$ （k∈R）．
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的圖形；
（2）當k=2時，求 $數(shù)學公式$ 的最大值和最小值．

解：（ 1 ）設動點P的坐標為（x，y），則 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]，即（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0
若k=1，，則方程為x=1，表示過點（1，0）且平行于y軸的直線；
若k≠1，則方程為（x+ $\text{[math]}$ ）²+y²=（ $\text{[math]}$ ）²，表示以（ $\text{[math]}$ ，0）為圓心，以 $\text{[math]}$ 為半徑的圓；
（ 2 ）當k=2時，方程化為（x-2）²+y²=1， $\text{[math]}$ =|（2x，2y）|=2 $\text{[math]}$
令x=2+cosθ，y=sinθ，則 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴當cosθ=1時， $\text{[math]}$ 的最大值為6，當cosθ=-1時， $\text{[math]}$ 的最小值為2．
分析：（1）根據(jù)題意，設出P的坐標（x，y），可得向量的坐標，代入 $\text{[math]}$ |中，可得（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0，分k=1與k≠1兩種情況討論，可得答案；
（2）表示出向量和的模，利用圓的參數(shù)方程設點的坐標，即可求得 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．
點評：本題考查直線與圓的方程的綜合運用，考查向量知識的運用，考查圓的參數(shù)方程，屬于中檔題．

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