Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內是單調函數(shù)； ②存在[a，b]⊆D（b＞a），使得f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，那么就稱y=f（x）是定義域為D的“成功函數(shù)”．若函數(shù)g(x)=loga(a2x+t)(a＞0，a≠1)是定義域為R的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為（　�。�

• A．(-∞，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：根據“成功函數(shù)”的概念利用對數(shù)函數(shù)的性質和一元二次方程根的判別式求解．

解答：解答：解：依題意，函數(shù)g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）在定義域上為單調遞增函數(shù)，且t≥0，
而t=0時，g（x）=2x不滿足條件②，
∴t＞0．
設存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，
∴

loga(a2m+t)=m loga(a2n+t)=n

，
即

a2m+t=am a2n+t=an

，
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的兩個不等的實根，
設y=a^x，則y＞0，
∴方程等價為y²-y+t=0的有兩個不等的正實根，
即

△=1-4t＞0 y1y2=t＞0 y1+y2=1＞0

，
∴

t＜ 1 4 t＞0

，解得0＜t＜

1

4

，
故選C．

點評：本題主要考查對數(shù)的基本運算，準確把握“成功函數(shù)”的概念，合理運用對數(shù)函數(shù)的性質和一元二次方程根的判別式是解決本題的關鍵．綜合性較強．