Question

7．已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的定義域與最小正周期；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的余弦公式，結合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可．
（2）利用三角函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
∴x≠kπ+$\frac{π}{2}$，即函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
則f（x）=4tanxcosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
則函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
當k=0時，增區(qū)間為[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴此時x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z，
當k=-1時，減區(qū)間為[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴此時x∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]，
即在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，函數(shù)的減區(qū)間為∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]，增區(qū)間為[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)的誘導公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．