設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+3abc≥6，并指出等號(hào)成立的條件．
分析：先將不等式的左側(cè)，第一次使用基本不等式，再將結(jié)果第二次使用基本不等式x+y≥2
xy
，化簡(jiǎn)整理后，即可得到要證的結(jié)論．
解答：證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥3
3
1
a3
•
1
b3
•
1
c3
，
即 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，所以
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+3abc≥
3
abc
+3abc，
而 
3
abc
+3abc≥2
3
abc
•3abc
=6，所以 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+3abc≥6
等號(hào)成立的條件為
1
a
=
1
b
=
1
c
3
abc
=3abc
，得a=b=c=1．
點(diǎn)評(píng)：本題兩次使用了基本不等式，要特別注意等號(hào)成立的條件．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，則ab2c的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5 不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•南京模擬）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案