Question

14．己知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$（λ＞1，λ是常數(shù)）．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，點(diǎn)M形成的曲線為C_λ．
（I）求曲線C_λ的軌跡方程；
（II）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線C_λ的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究△OAB的面積是否為定值．若是，求△OAB的面積，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{x}{λ}$，$\frac{y}{λ}$），由點(diǎn)P在橢圓C上得曲線C_λ的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1，（λ＞1）$．
（Ⅱ）由△=0，得過點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，設(shè)切點(diǎn)A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\end{array}\right.$，結(jié)合$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$得4x²-8x₁x+16-16${{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$=0，可得|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}）^{2}}$×|x₃-x₄|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+{{y}_{1}}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$，△OAB的面積s=$\frac{1}{2}×$|AB|×d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$×$\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$（定值）

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{x}{λ}$，$\frac{y}{λ}$）
由于點(diǎn)P在橢圓C上，得，$\frac{（\frac{x}{λ}）^{2}}{4}+（\frac{y}{λ}）^{2}=1$
即曲線C_λ的軌跡是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1，（λ＞1）$．
（Ⅱ）①當(dāng)過點(diǎn)P（x₁，y₁）切線的斜率存在時，
設(shè)該切線的方程為y-y₁=k（x-x₁），即y=kx+（y₁-kx₁）
聯(lián)立y=kx+（y₁-kx₁）、橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1
得（${k}^{2}+\frac{1}{4}$）x²+2k（y₁-kx₁）x+[（y₁-kx₁）²-1]=0
，由△=0，得1+4k²=[（y₁-kx₁）²，的k=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$．
此時過點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$
過點(diǎn)P切線的斜率不存在時，切點(diǎn)為（±2，0），方程為x=±2，
符合方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$．
∴過點(diǎn)P的切線方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$．
設(shè)A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\end{array}\right.$，結(jié)合$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$得4x²-8x₁x+16-16${{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$=0
${x}_{3}+{x}_{4}=2{x}_{1}，{x}_{3}{x}_{4}=4-4{{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}）^{2}}$×|x₃-x₄|=$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$．
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+{{y}_{1}}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$
∴△OAB的面積s=$\frac{1}{2}×$|AB|×d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$×$\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$（定值）
故△OAB的面積是定值2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的方程與性質(zhì)，橢圓的切線方程及用弦長、距離表示三角形面積，考查了方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．