Question

（2010•江門一模）已知函數f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

．
（1）求f（x）的定義域和最大值；
（2）設a是第一象限角，且tan

a

2

=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

分析：（1）由分母不為0，可得函數的定義域；利用輔助角公式化簡函數，可求函數的最值；
（2）由tan

a

2

=

1

2

得tana的值，從而可求求f（a）的值．

解答：解：（1）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）…（2分），
所以f（x）的定義域為{x|x∈R，x≠kπ，其中k∈Z}…（3分），
f（x）=

2sinxcosx+2sin2x

2sinx

=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）…（7分），
因為x≠kπ（k∈Z），所以f（x）的最大值M=

2

…（8分）．
（2）由tan

a

2

=

1

2

得tana=

2tan a 2

1-tan2 a 2

=

4

3

…（9分），
因為a是第一象限角，所以sina=

4

5

，cosa=

3

5

…（11分），
所以f（a）=sina+cosa=

7

5

…（12分）．

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．