Question

（2012•綿陽二模）對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在D上是“密切函數”．給出定義域均為D={x|0≤x≤4}的四組函數如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=

2x

x+2

；   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e為自然對數的底數），g（x）=2-x；④f（x）=

2

3

x-

5

8

，g（x）=

x

．
其中，函數f（x）和g（x）在D上為“密切函數”的是

①④

．

Answer 1

分析：對照新定義，構造新函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數的方法確定函數的單調性，從而確定函數的值域，利用若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在D上是“密切函數”，即可得到結論

解答：解：對于①，設h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-

2x

x+2

，
∴h′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0
∵0≤x≤4
∴h（x）在[0，4]上單調增，
∵h（0）=0，h（4）=ln5-

4

3

∵|ln5-

4

3

|≤1
∴對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函數f（x）和g（x）在D上為“密切函數”；
對于②，設h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1，h′（x）≤0，1≤x≤4，h′（x）≥0
∵h（0）=1，h（1）=-1，h（4）=53
∴函數在x=1時，取得最小值-1；在x=4時，取得最大值53，
故不滿足對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
對于③，設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-2，
∴h′（x）=e^x-1
∵0≤x≤4
∴h′（x）≥0
∴h（x）在[0，4]上單調增，
∵h（0）=-1，h（4）=e⁴-6
∵e⁴-6＞1
∴不滿足對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
對于④，設h（x）=f（x）-g（x）=

2

3

x-

5

8

-

x

．x=0時滿足題意
x≠0時，h′(x)=

2

3

-

1

2 x

∵0＜x≤4
∴0＜

x

≤2
∴h′(x)=

2

3

-

1

2 x

≥

2

3

-

1

4

＞0
∴h（x）在[0，4]上單調增，
∵h（0）=-

5

8

，h（4）=

1

24

∴對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函數f（x）和g（x）在D上為“密切函數”；
故答案為：①④

點評：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結論，將問題轉化為已知的去解決，主要涉及了函數的單調性，函數的最值求法等．