Question

已知函數(shù)．

（I）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（為自然對(duì)數(shù)的底）；

（II）記為的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I）若,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

           當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（II） 。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中的運(yùn)用。判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)的極值問(wèn)題的綜合運(yùn)用

（1）由已知函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)于參數(shù)a分類討論得到其單調(diào)區(qū)間，注意討論的完備性。

（2）要是函數(shù)在給定區(qū)間存在極值，說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)在該點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，那么借助于概念分析求解。

解：（I）        …………1分

若,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

           當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，…………5分

若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.                …………7分

（II） ，   ，  …………8分

方法一：函數(shù)在區(qū)間上存在極值

等價(jià)為關(guān)于方程在上有變號(hào)實(shí)根

……11分        在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

          …………14分

 當(dāng)時(shí)，，不存在極值  ……15分

 方法二：   等價(jià)為關(guān)于方程在上有變號(hào)實(shí)根。

⑴   關(guān)于方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

                       …………10分

⑵關(guān)于方程在上有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

                    …………12分

時(shí)，的解為

 符合題意            …………13分

當(dāng)時(shí)，的解為

均不符合題意  (舍)………14分    綜上所述，．………15分