Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
（1）求$f（\frac{π}{6}）$的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式計算f（$\frac{π}{6}$）的值即可；
（2）化f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$，
∴$f（\frac{π}{6}）=\sqrt{3}sin（2×\frac{π}{6}）-2{cos^2}\frac{π}{6}$
=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-2×${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$
=0；         …（3分）
（2）$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x-2•\frac{1+cos2x}{2}$…（5分）
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-1$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，…（7分）
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z；…（9分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]$（k∈Z）．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．