Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）由a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
由a₁+a₂=S₂=2a₂+（-1）²，得a₂=0；
由a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃+（-1）³，得a₃=2．（6分）
（2）由a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1）+2×（-1）ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1，
只要對(duì)a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1的兩邊同除以（-1）ⁿ，得．
令，有b_n=-2b_n-1-2，于是，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比q=-2，首項(xiàng)b₁=-1，
，
即，經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也成立，
故有．
分析：（1）為了計(jì)算前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃的值，只要在遞推式S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1中，對(duì)n取特殊值n=1，2，3代入求解即可；
（2）數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系式，即an=，求出a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1，只要對(duì)a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1的兩邊同除以（-1）ⁿ，構(gòu)造新的等比數(shù)列進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系式，即an=，本題的難點(diǎn)是需要觀察通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再進(jìn)行構(gòu)造新的等比（等差）數(shù)列，注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立，這是容易忽視的地方，考查了觀察能力和知識(shí)遷移能力．