Question

1．拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x²-y²=1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形求出p即可．

解答 解：拋物線的焦點坐標(biāo)為（0，$\frac{P}{2}$），準(zhǔn)線方程為：y=-$\frac{P}{2}$，
準(zhǔn)線方程與雙曲線x²-y²=1聯(lián)立可得：x²-（$-\frac{P}{2}$）²=1，
解得x=±$\sqrt{1+\frac{{P}^{2}}{4}}$，
因為△ABF為等邊三角形，所以$\sqrt{{x}^{2}+{p}^{2}}$=2|x|，即p²=3x²，
即p²=3（$1+\frac{{P}^{2}}{4}$），解得p=2$\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．