Question

某企業(yè)自2013年1月1日起正式投產(chǎn)，環(huán)保監(jiān)督部門從該企業(yè)投產(chǎn)之日起對它向某湖區(qū)排放的污水進行了三個月的監(jiān)測．監(jiān)測的數(shù)據(jù)如下表，并預(yù)測，如果不加以治理，該企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量將成等比數(shù)列．

月份	1月	2月	3月
該企業(yè)向湖區(qū)排放的污水量（單位：萬立方米）	1	2	4

（1）如果不加以治理，求從2013年1月起，m個月后，該企業(yè)總計向湖區(qū)排放了多少萬立方米的污水；
（2）為保護環(huán)境，當(dāng)?shù)卣�府和企業(yè)從7月份開始投資安裝污水處理設(shè)備，預(yù)計7月份的污水排放量比6月份減少4萬立方米，以后每月的污水排放量均比上月減少4萬立方米，請問到哪年哪月：
①企業(yè)的污水排放量為零；
②當(dāng)企業(yè)的污水排放量為零后，再以每月25萬立方米的速度處理湖區(qū)中的污水，可以使湖區(qū)中的污水不多于50萬立方米．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（2）①設(shè)治理后每月污水扥排放量構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，由已知它構(gòu)成等差數(shù)列，其中，b₁=a₆-4，利用等差數(shù)列的通項公式解出b_n=0時的n即可得出．
②當(dāng)企業(yè)的污水排放量為零時，湖中共有污水為a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；
則治理t個月后175-25t≤50，解出即可．

解答：解：（1）∵每月污水排放量構(gòu)成等比數(shù)列{a_n}，且a₁=1，q=2．
∴S_m=

a1(qm-1)

q-1

=

1×(2m-1)

2-1

=2^m-1．
（2）①設(shè)治理后每月污水扥排放量構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，由已知它構(gòu)成等差數(shù)列
其中，b₁=a₆-4=2⁵-4=28．
則b_n=b₁+（n-1）d=28+（n-1）（-4）=-4n+32．
當(dāng)b_n=0時，n=8故到2014年2月排放量為0．
②當(dāng)企業(yè)的污水排放量為零時，湖中共有污水為a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈=

26-1

2-1

+

(28+0)×8

2

=175．
則治理t個月后175-25t≤50，t≥5．
到2014年6月時湖中的污水不多于50萬立方米．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．