Question

若f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（-3，1）

．

Answer 1

分析：由f(x)=

1

4

x3-

3

4

x，知f（x）的定義域是R，f′(x)=

3

4

x2-

3

4

，令f′(x)=

3

4

x2-

3

4

=0，得x₁=-1，x₂=1，列表討論知f（x）在x=1處有極小值．由f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，知

m＜1 10-m2＞1

，由此能求出m的范圍．

解答：解：∵f(x)=

1

4

x3-

3

4

x，
∴f（x）的定義域是R，f′(x)=

3

4

x2-

3

4

，
令f′(x)=

3

4

x2-

3

4

=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∵若f(x)=

1

4

x3-

3

4

x在（m，10-m²）上有最小值，
∴

m＜1 10-m2＞1

且f（m）≥f（1），
解得-2≤m＜1．
故答案為：[-2，1）．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．