Question

已知復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)。

（Ⅰ）試求的值，并分別寫出和用、表示的關(guān)系式；

（Ⅱ）將(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。

Answer 1

[解]（1）由題設(shè)，，

于是由，                            

因此由，

得關(guān)系式                                

 [解]（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)滿足

，                                   

消去，得，

故點(diǎn)的軌跡方程為                       

 [解]（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，

∴所求直線可設(shè)為，                              

[解法一]∵該直線上的任一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)

仍在該直線上，

∴，

即，

當(dāng)時，方程組無解，

故這樣的直線不存在。                                           

當(dāng)時，由

得，

解得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，                      

 [解法二]取直線上一點(diǎn)，其經(jīng)變換后的點(diǎn)仍在該直線上，

∴，

得，                                            …（14分）

故所求直線為，取直線上一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上。

∴，                                    

即，得或，

故這樣的直線存在，其方程為或