Question

如圖所示是函數(shù)f（x）=x³+bx²+3cx+d的大致圖象，方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]內(nèi)有解，則m的取值范圍是（　�。�

• A．[-

  5

  27

  ，2]
• B．[-10，2]
• C．[-10，-1]
• D．[-1，

  5

  27

  ]

Answer 1

分析：先利用函數(shù)f（x）的圖象，知函數(shù)過原點，且有兩個極值點，即f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0，代入解析式即可解得b、c、d的值，再將方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]內(nèi)有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x³-x²-x，的值域問題，利用導(dǎo)數(shù)求其在閉區(qū)間[-2，2]內(nèi)的最值即可

解答：解：由函數(shù)f（x）的圖象可知：f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0
∵f（x）=x³+bx²+3cx+d，f′（x）=3x²+2bx+3c
∴

d=0 12-4b+3c=0 27+6b+3c=0

解得：b=-

3

2

，c=-6，d=0
∴方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]內(nèi)有解，即方程x³-x²-x-m=0在x∈[-2，2]內(nèi)有解，
即m=x³-x²-x在x∈[-2，2]內(nèi)有解，
設(shè)g（x）=x³-x²-x，則g′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1）
∴當(dāng)x∈[-2，-

1

3

]時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈[-

1

3

，1]時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
而g（-2）=-10，g（-

1

3

）=

5

27

，g（1）=-1，g（2）=2
∴g（x）∈[-10，2]
即m∈[-10，2]
故選 B

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值點之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題中轉(zhuǎn)化化歸的思想方法