Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

分析：（1）PA=AB=1，PB=

2

，可得PA⊥AB．同理PA⊥AD．得證．
（2）設(shè)出平面ACE的一個法向量為

n

，根據(jù)法向量與平面內(nèi)任一向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造方程組，求出平面ACE的法向量為

n

的坐標，代入面面夾角向量公式，即可求出答案．
（3）假設(shè)在棱PC存在一點F，使得BF∥平面AEC，則須

BF

與

n

垂直．數(shù)量積為0，利用方程解的存在與否判定點F是否存在．

解答：解：（1）正方形ABCD邊長為1，PA=1，PB=PD=

2

，
所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，
有PA⊥平面ABCD．         
（2）如圖，以A為坐標原點，直線AB、AD、AP分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則

AC

=(1 ，1 ，0)，

AE

=(0 ，

2

3

 ，

1

3

)，
由（1）知

AP

為平面ACD的法向量，

AP

=(0 ，0 ，1)，
設(shè)平面ACE的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

a+b=0 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=6，則b=-3，a=3，

n

=(3，-3，6)，…（4分）
設(shè)二面角D-AC-E的平面角為θ，則|cosθ|=

| n • AP |

| n || AP |

=

6

3

，
又有圖可知，θ為銳角，
故所求二面角的余弦值為

6

3

．
（3）設(shè)

PF

=λ

PC

(λ∈[0 ， 1])，則

PF

=λ(1 ，  1，-1)=(λ，  λ，-λ)，

BF

=

BP

+

PF

=(λ-1，  λ，1-λ)，
若BF∥平面ACE，則

BF

⊥

n

，即

BF

•

n

=0，（λ-1，λ，1-λ）•（3，-3，6）=0，
計算得λ=

1

2

所以，存在滿足題意的點，即當F是棱PC的中點時，BF∥平面ACE．…（8分）

點評：（1）注意勾股定理及其逆定理在證明線線垂直時價值．
（2）兩平面法向量的夾角θ與兩平面間的夾角φ關(guān)系是相等或互補．但必有|cosθ|=|cosφ|．
（3）此問重點考查了利用空間向量的方法及假設(shè)存在于方程的思想進行求解的方法