Question

已知函數(shù)是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，其中實數(shù)a是不等1的常數(shù)．
（1）當a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設a＞1，若函數(shù)f（x）有三個零點，求a的取值范圍；
（3）若a＞-1，求函數(shù)|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值M（a）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=0時，求導，分析導函數(shù)的符號即可求得結(jié)果；（2）求得，分析導函數(shù)的符號，求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）有三個零點，因此得到函數(shù)的極大值大于零，極小值小于零，解此不等式組即可求得結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)函數(shù)|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)單調(diào)性即可求得其的最大值．
解答：（1）f′（x）=x（x-1），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減；
（2）f′（x）=（x-a）（x-1），
由f（1）=a-＞0，f（a）=-+＜0，
解得a＞3；
（3）①當a＞1時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是g（-1）=2a+2
②當-1＜a＜1時，，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是
max{g（-1），|g（）|}=max{2a+2，}
解不等式2a+2-＞0，得5-4a
∴當-1＜a＜5-4時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是，
當5-4≤a＜1時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是2a+2．
綜上M（a）=．
點評：掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題，考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論的思想，是難題．