Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-x-

1

a

）e^ax（a≠0）．
（1）曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為

 

（2）當(dāng)a＞0時，若不等式f（x）+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，求出導(dǎo)函數(shù)，令x=0求出斜率，利用點斜式求出直線方程．
（2）構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出其導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=(2x-1)eax+a(x2-x-

1

a

)eax
∴f′（0）=-2
將x=0代入f（x）得f（0）=-

1

a

所以曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為 2x+y+

1

a

=0
（2）f(x)+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞)恒成立
即(x2-x-

1

a

)eax+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞)恒成立
令g（x）=(x2-x-

1

a

)eax+

3

a

   x∈[-

3

a

，+∞)
∵g′(x)=(2x-1)eax+a(x2-x-

1

a

)eax
=（ax²+2x-ax-2）e^ax
=（ax+2）（x-1）e^ax
令g′(x)=0得x=-

2

a

，  x=1
x∈(-

3

a

，-

2

a

)時，g′(x)＞0；x∈(-

2

a

，1)時，g′(x)＜0；x∈(-

2

a

，+∞)時，g′(x)＞0
當(dāng)x=1時，g（1）=-

1

a

ea+

3

a

；當(dāng)x=-

3

a

時，g(-

3

a

)=(

9

a2

+

2

a

)e-3+

3

a

＞g（1）
故g（x）的最小值為-

1

a

ea+

3

a

∴-

1

a

ea+

3

a

≥0解得0＜x≤ln3
故答案為（0，ln3]

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、考查解決不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．