Question

（1）求拋物線y²=12x上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求經(jīng)過兩點(diǎn)（-7，6

2

），（2

7

，3）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3．設(shè)所求點(diǎn)為P（m，n），根據(jù)題意利用拋物線的定義建立關(guān)于m的等式，解出m的值后利用拋物線的方程求出n的值，即可得到滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），根據(jù)題意建立關(guān)于m、n的方程組，解出m、n之值即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵拋物線方程為y²=12x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3．
設(shè)所求點(diǎn)為P（m，n），
∵P到焦點(diǎn)F的距離為9，P到準(zhǔn)線的距離為m+3，
∴根據(jù)拋物線的定義，得m+3=9，解得m=6，
將點(diǎn)P（6，n）代入拋物線方程，得n²=12×6=72，解之得n=±6

2

，
∴滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，±6

2

）；
（2）設(shè)雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），
∵點(diǎn)（-7，6

2

）、（2

7

，3）在雙曲線上，
∴

m×(-7)2+n×(6 2 )2=1 m×(2 7 )2+n×32=1

，解得

m= 1 25 n=- 1 75

，
由此可得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

-

y2

75

=1．

點(diǎn)評：本題求拋物線上滿足指定條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求經(jīng)過兩個定點(diǎn)的雙曲線方程．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．