Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，且2a_na_n-1=3a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），若不等式a_n≤

9

8

恒成立，則n的最小值為（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：把給出的遞推式變形得到數(shù)列{1-

1

an

}是以

1

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式后把不等式a_n≤

9

8

恒成立轉(zhuǎn)化為

1

an

=1-

1

3n

≥

8

9

，求解不等式得到n的最小值．

解答：解：∵2a_na_n-1=3a_n-1-a_n，∴3(1-

1

an

)=1-

1

an-1

，
又1-

1

a1

=1-

2

3

=

1

3

，∴數(shù)列{1-

1

an

}是以

1

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴1-

1

an

=

1

3n

，∴

1

an

=1-

1

3n

(n∈N*)．
要使不等式a_n≤

9

8

恒成立，須使

1

an

=1-

1

3n

≥

8

9

，即n≥2．
所以n的最小值為2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是由遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列，是中檔題．