Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+h，（A＞0，ω＞0）的最大值和最小值分別為4和0，且函數(shù)圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π；
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+h的最大值為M，最小值為m，則A=$\frac{M-m}{2}$，h=$\frac{M+m}{2}$，求得A=2，h=2，函數(shù)與x的相鄰交點(diǎn)的距離是一個(gè)周期，T=π，利用T=$\frac{2π}{ω}$求得ω，寫出解析式，
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，從而可得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）y=Asin（ωx+φ）+h的最大值為M，最小值為m，則A=$\frac{M-m}{2}$，h=$\frac{M+m}{2}$，
∴A=2，h=2，
由函數(shù)圖象可知，T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），
得：kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]k∈Z；
（3）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2的值域?yàn)閇1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）+h的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．