Question

已知函數，且函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為．
（I）求a和函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（II）在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角公式，輔助角公式對已知函數進行化簡可得f（x）=，由函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為可得2ω=kπ，結合可求ω
，進而可求f（x），a，令可求函數的單調遞減區(qū)間
（II）對利用正弦定理，和差角公式化簡可求cosB，進而可求B，結合三角形的內角和定理可求A的范圍，結合正弦函數的性質可求f（A）的范圍
解答：解：（I）∵f（x）=（ωx+cosωx）sin（-+ωx）
=
=
=
=（2分）
又∵函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為
∴2ω=kπ
∴
∵
∴（4分）
從而有f（x）=sin（），故a=，
令可得，k∈Z
∴函數的單調遞減區(qū)間[，]，k∈Z（6分）
（II）∵
由正弦定理可得，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin（π-A）=sinA
∵sinA≠0
∴cosB=
∴B=（9分）
∴
∴
∴
∵f（A）=sin（A+），
∴（12分）
點評：本題主要考察了利用二倍角公式，輔助角公式進行三角函數的化簡，正弦定理解三角形，三角函數的圖象和性質及三角形中三角函數知識的綜合應用．