Question

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足，求數(shù)列{c_n}中的最大項；
（Ⅲ） 求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用即可得出；
（Ⅱ）解法一：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
解法二：先計算前幾項，猜想出結(jié)論，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明；
（Ⅲ））解法一：當(dāng)n≥4時，可證：n⁴＞16n（n-1），再利用裂項求和即可證明；
解法二：n≥2時，，再利用裂項求和即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由已知：對于n∈N^*，總有①成立
∴②
①-②得
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，又n=1時，，解得a₁=1．
∴a_n=n．
（Ⅱ）解法一：由已知c_n＞0，，
⇒，同理，，．
易得 c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2時，{c_n}是遞減數(shù)列．
令
∵當(dāng)x≥3時，lnx＞1，則1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）內(nèi)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
由．
∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數(shù)列．即{c_n}是遞減數(shù)列．
又c₁＜c₂，∴數(shù)列{c_n}中的最大項為．
解法二：猜測數(shù)列{c_n}中的最大項為．c₁＜c₂＞c₃易直接驗證；
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
（1）當(dāng)n=3時，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ，所以n=3時不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥3）時不等式成立，即k^k+1＞（k+1）^k，即，
當(dāng)n=k+1時，，
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1時不等式成立．
由（1）（2）知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ對一切不小于3的正整數(shù)都成立．
（3）解法一：當(dāng)n≥4時，由基本不等式的性質(zhì)可得，
當(dāng)時，取前一個等號，顯然取不到，因此：n³+16＞16n，∴n⁴＞16n（n-1）．

解法二：n≥2時，，

點評：熟練掌握利用求通項、通過構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式、數(shù)學(xué)歸納法、適當(dāng)放縮、裂項求和是解題的關(guān)鍵．